ドップラー効果の公式と問題例～高校物理のわからないを解決～
この章では、ドップラー効果の公式を導きます。 ドップラー効果の公式を求める過程は、そのまま試験で出題されることもあるので、十分に理解しておく必要があります。 この章で扱う音源および観測者の運動は、音源と観測者を結ぶ方向に沿った向きの運動です。 読みながら、頭の中にイメージを作り上げてください。 図1-1以降の図では模式的に波面を示していますが、以上のような理由で波面は円、または、円弧で示しています。 音を伝えるのは空気です。 空気が圧縮と膨張を繰り返し、この振動が音となって進みます。 つまり、音速を決めるのは、空気の性質です。 注）音を伝える空気自身が動いている場合には、事情が異なります。 この式は、音源が近づくときには、振動数は高くなること、つまり、高い音に聞こえることを表しています。 逆に音源が（観測者から）離れていくときには、低い音に聞こえます。 これで、公式をひとつ導くことができました。 （1-1）式を波長で表してみます。 音源が静止していても、運動していても、音波の速さに変化はありません。 文章だけで理解できたでしょうか。 文章だけの説明ではわかりにくいので、下の図1-1にしたがってもう一度説明します。 右側には観測者の人の形が描かれています。 （注：図1-1には、円弧で波面が表されていますが、これは音源が発した波面全てを表しているものではありません。 これが正しいことは、音源が遠ざかる場合の図1-1に相当する図を思い描いてみればわかります。 図1-1で、音源から左に向かう音波に注目してください。 波長が長くなっています。 観測者がいるいないにかかわらず、音源が進む向きとは逆の向きに進む音波の振動数は 1-3 式のとおりになります。 このことは、２．の観測者が動く場合にも成り立ちます。 （あるいは通過していきます。 二つ目の公式 1-4 式が導かれました。 以上のことを図1-2で確認します。 単位時間の波の数を表すこの式が、そのまま観測者が受ける音の振動数となります。 、 （1-4）式からわかるように、観測者が音源に近づく場合、観測者が受ける音の振動数は、観測者が静止している場合に比較して、高くなります。 以上、１．の場合、２．の場合とも、音源と観測者が近づく場合には観測者が受ける音の振動数は高くなり、音源と観測者が遠ざかる場合には観測者が受ける音の振動数は低くなります。 さて、１．と２．の状況は似ているように感じますが、実際には次のような違いがあります。 １．の「音源が動く場合」には、実際に空気を伝わる音の振動数（波長）が変化しています。 しかし、２．では空気を伝わる音の振動数（波長）は変化していません。 それを受け取る観測者の運動により、同じ音が高い音にも、低い音にも聞こえます。 上の図1-3を参照してください。 ４．「速さ」と「速度」による式の表し方の違い ここまで、音源および観測者の運動について、「速さ」を用いてきました。 「速度」を使って考察する場合もありますから、ここでは、「速度」を使ったときに（1-1）（1-4）式がどのように表されるかを考えます。 「速度」は大きさと向きを含みます。 向きは、ひとつの軸に沿った動きの場合（1次元の場合）は、値の正負で示されます。 ということは、全ての物体に対して統一的な正の向きの基準が必要となります。 一方、「速さ」は大きさだけを持ちます。 したがって、「速さ」は正の値であることが前提です。 このため、考察している物体のそれぞれに対して、運動の向きをあらかじめ決めてから考察する必要があります。 （個々の物体に対して個別に正の向きを決める、と考えることもできます。 ） （運動の向きを決めて「速さ」を計算した結果、「速さ」が負となる場合もあります。 これは、あらかじめ決めた向きが実際の向きとは逆であったことを示しています。 ） 繰り返しになりますが、「速さ」を使う場合には、それぞれの物体に固有の「正の向き」を設定し、「速度」を使う場合には、どの物体についても同じ正の向きを設定すると理解することもできます。 （1-1）式と（1-4）式は、「速さ」を使って表されています。 音源と観測者の運動の正の向きを、それぞれが近づく向きとしています。 図1-1の音源の運動の正の向きは右向きです。 図1-3の観測者の運動の正の向きは左向きです。 音源と観測者では正の向きが異なっていたわけです。 それでは、「速度」を使う場合、正の向きをどう決めたら良いのでしょう。 以下では、「速度」の正の向きをある定義に基づいて定め、音源と観測者の配置が異なる二つの場合について、音源がそれぞれ正の向きに動いたときに観測者が受ける音の振動数が同じ式で表されるかどうかで、定義の良しあしを考えることにします。 最初に、右向きを「速度」の正の向きとしてみます。 これを、図1-4に示しました。 図1-4 a では、音源が左、観測者が右です。 このとき、音源が正の向き（右）に動けば、観測者が受ける音は高くなります。 図1-4 b では、音源が右で、観測者が左です。 このとき、音源が正の向き（右）に動くと、観測者が受ける音は低くなります。 以上から、右向きを「速度」の正の向きとする考えは、音源と観測者の配置により、ドップラー効果の振動数の式が変わってしまうため、良い定義ではないとわかります。 そもそも、何に向かって右向きなのか、左向きなのかも、明確ではありません。。 音源が左にあっても、右にあっても、ドップラー効果の式が同じ形になるように、「速度」の正の向きを定義するには、どうするのがよいでしょう。 それには、 音源から観測者に向かう向きを、正の向きとするのが良いです。 下の図1-5の中に、音源が観測者の左側にある場合 a と、右側にある場合 b について、この定義に基づく 「速度」の正の向きを示しています。 そして、図1-5は、 a b のそれぞれについて、 音源が正の向きに運動している状態と空気中を伝わる音波の波面を描いています。 どちらの図も音源が観測者に近づく状態を示すことになり、観測者が受ける音の振動数も同じものになっています。 そして、これらの状態は、図1-1と同じですから、ドップラー効果の式も同じものとなります。 上の〈1-6）式の場合と、速度の正の向きを同じにしておくほうが、公式として覚えやすいはずですから、この場合にも、「 音源から観測者に向かう向きを速度の正の向き」とします。 この図は、図1-2と比べて、観測者の移動する向きが逆ですが、変数を使って式を立てる場合、図1-6のように、その変数が正となる領域で考察するのが楽です。 ） 図1-6も図1-2と同様に考えることができます。 この状況を図1-7に示します。 ・ 図1-6でも図1-7でも、ドップラー効果の式として、まったく同じ式が得られました。 さて、４．での考察を通じてわかる大事なポイントは、 「速さ」でも「速度」でも、正の向きを明確にしてから式を立てる、ことです。 こうすることで、向きについて具体的に考えることになり、立式のミスが減らせるはずです。 左欄は式に「速さ」を用いた場合です。 右欄は式に「速度」を用いた場合で、音源から観測者に向かう向きを正としています。 音源と観測者の上に描いた矢印は、そのものが移動する正の向きを示しています。 覚えやすい方法で覚えましょう。 ２．音を反射する壁が存在する場合の考え方 ここでは、壁と音源と観測者が一直線上に並んでいる場合を扱います。 また、壁は受けた音を音源の向きに反射するとします。 壁と音源、観測者のいずれが動くかにより、様々な場合が考えられます。 図2-2-1では、壁が静止しています。 図2-2-2では、壁が動いている場合を考えます。 音源から出た音を壁が反射してその音を観測者が受けます。 したがって、音源も観測者も壁に対して同じ側にいることになります。 そこで、ここでは、音源、観測者と壁の「速さ」を用いて考察します。 記号は図2-2-1に示しました。 壁を扱う場合は基本的には、 壁は観測者であり音源でもあると考えて、次のようにふたつのステップを考えます。 したがって、図2-1から、音源と観測者 壁）との関係が一致するものを探し、対応する式を用います。 例えば、音源が静止していて壁が動いていれば、 2-3 式を用います。 図2-1から、音源（壁）と観測者との関係が一致するものを探し、対応する式を用います。 図2-2-2の、音源と観測者が静止していて壁が運動する場合を例として考えます。 それから単位時間（1秒）経過するまでの間に起こることを考えます。 壁は、この数の波を単位時間に反射して返します。 このことは、壁を観測者と考えて良いことを示しています。 次に反射した波について考えます。 これを図2-4に示しました。 つまり、壁の効果を考える場合、ふたつのステップに分けて考えることは正しいことが分かりました。 風が吹くことは、音を伝える媒質である空気自体が動いていることになります。 状況を図3-1にまとめました。 ここでは、その方向からずれた向きに、音源または、観測者が運動する場合のドップラー効果について考えます。 最初に音源が動く場合を考えます。 図3-2は、水平面上にある音源と観測者を鉛直上方から観察したものです。 注） 図3-2は水平面を表していますが、鉛直面（観測者の上方を音源が進む）としても以下の議論は同じように成り立ちます。 以上より、音源が左から右に移動するとき、観測者が観測する音の振動数は、図3-4に青線で示すように変化します。 さて、図3-4の青線では、振動数は連続的に変化しています。 したがって、ある時間をかけて振動数を測定したとき、その時間の間でも振動数は変化していて一定ではありません。 つまり、振動数を測定しようとしたら、振動数を測定する時間をなるべく短くしたうえで、その間は一定の振動数を保つと仮定することになります。 何らかの近似が必要になると予想できます。。 このことを踏まえて、（3-2）式をもう一度検証してみましょう。 下の図3-5-1は、観測者と音源の位置、音源の移動を模式的に描いたものです。 図3-5-1はこれを表しています。 図3-5-1の左側の a の図は、点A,B,O'の間の距離の関係を示しています。 b の図は、点A,B,O'の間の時間の関係を示しています。 周波数を観測する間に音源が動く距離が、音源から観測者までの距離よりも十分に小さい場合に、（3-2）式（3-13）式が成立します。 以上の説明では、余弦定理を用いましたが、設定を少し変えると、三平方の定理を使って考えることもできます。 これを、図3-5-2に示しました。 図3-5-1では、音源は観測者より左側にいるとして、式を導きましたが、図3-5-2では、音源は観測者の右側にいるとして式を導くことにします。 なるべく図3-5-1の考察手順に沿って解いていきます。 （3-13）式を少し異なるふたつの方法で求めました。 これらの導出過程がそのまま出題される可能性もありますから、考え方を覚えておきましょう。 音源が動く、斜め方向のドップラー効果の別の例を、図3-6に示します。 これは、ブザーを紐に括り付けて振り回したときの音を別の人間が聞く場合に相当します。 図3-6は、音源と観測者が存在する水平面を鉛直上方から眺めた図です。 この場合、音源の移動する向きは、観測者と音源を結ぶ方向と様々な角度になります。 それでは、観測者が観測する音の振動数が最大になるのは音源がどの位置にあるときでしょうか。 これを、図3-7に示します。 音源の速さは常に一定ですから、最大の振動数を観測するのは、音源が観測者に向かって移動するときです。 円運動する物体の運動の向きはその点における円運動の円の接戦の方向であることを考えれば、それは図3-7の点Cです。 観測者の位置から音源の軌跡（円）に接線を引けば、接点が２つあり、そのうちのひとつが点Cで、音源がここにあるとき、最大の振動数が観測されます。 もうひとつの接点Aでは、音源が観測者から離れる向きですから、このとき、観測者は最も低い振動数を観測することになります。 ここで、ドップラー効果から少しはなれ、音源の運動に要する時間と、観測点で音源の音を観測する時間との関係を考えます。 これを図3-9に示しました。 ここでは、前者を考えます。 このタイプの問題では、音源が音を出す時刻と、観測者がその音を受ける時刻が異なることに注意しましょう。 次に、観測者が移動する場合を考えます。 これは、図3-10のような状況です。 音源は、観測者の軌道から外れたところに静止しています。 このとき、水面を鉛直上方から観察したところ、図4-1のような波紋が観察されました。 この図から何が導かれるかを考えます。 設定は水面上の波ですが、音の場合で考えれば、波紋は波面ですし、細い針金の先端は音源と考えることができます。 つまり、音源が一定速度で運動するドップラー効果の問題と考えることができます。 ただ、観測者はいません。 ですから、音源が等速直線運動するときに、音源が発した音は空間中で振動数がどのように変化するかを考える、というような問題となります。 波紋を伝えるのは水ですから、波紋が伝わる速さは、針が運動していてもいなくても同じです。 また、同じ理由で、どの向きにも波紋が伝わる速さは同じです。 したがって、波紋は円になります。 その円の中心は、その波紋を形成したときの針の位置になります。 もっとも、大きな円の波紋が最初の波紋です。 図4-1で、10個の波紋が見えます。 最初の波紋を打った直後からは、図4-1の図は（11回目の波紋を打つ直前の図ですから）2秒経過していることがわかります。 針の進む前方では、波の振動数はどのようになっているのでしょうか。 ドップラー効果の式を使って考えます。 観測者と音源である音叉と壁が一直線上に並んでいます。 この状況を図4-3に示しました。 壁をどちらに動かしたらよいかわかりませんから、右に動くと仮定しています。 もう少し考えると、系の外から音叉が出す音波の波面を観察すると、音叉が進む前面では間隔が詰まっていて（波長が短く）、逆の向きには間隔が拡がっている（波長が長い）ことがわかるはずです。 壁は、波長が短くなった音を音源から逃げる向きに移動して聞くため、振動数を下げて聞くことになります。 お遊びで、問題を作りかえて考えます。 それは、図4-3で、観測者と音叉の位置を入れ替えます。 これを図4-4に示します。 これで、何が変わったでしょうか。 つまり、図4-3では、音叉が観測者から離れて行きますが、図4-4では観測者に近づきます。 最初に壁を観測者と考えます。 図4-4のような問題は試験では出題されないものですが、演習問題の一部を変えてみて、このときはどうなるのか、と考えてみることは理解を助けます。 それがやりやすい分野のひとつがドップラー効果です。 例題３： 次の例題では、音源と観測者が同じ運動をしています。 これを図4-5に示しました。 一方、壁に反射してきた音波を観測者が聞く場合、ドップラー効果により振動数が変化しています。 また、壁を、反射する音波の音源と見なす段階では、観測者が音源（壁）に近づくので、やはり振動数は高くなります。 したがって、うなりが生じます。 この問題で注意するのは、 動いているのは何かということです。 特に観測者の動きが大事で、音叉が波を発するときの観測者の位置と観測者が波を受け取るときの位置は異なります。 頭の中だけでは考えにくいので、図を描くのが大事です。 時間が与えられていて、距離を求めるわけですから、波の速さが問題になります。 波の速さは変化しないことを確認しましょう。 おそらく次の図4-6のような図が描けると思います。 このとき、観測者は壁からの反射音を何秒聞くことになるでしょう。 この場合は、何が変化して、何が変化しないのかを明確にするのが大事です。 ドップラー効果ですから、[振動数]は変化します。 これまで説明してきたように、［波 音波）の速さ］は変化しません。 ゆえに、[波長]も変化します。 上の説明のように、この問題は、発した波の数と受ける波の数が等しいことを利用するのが、考えやすいです。 しかし、観測者が音を聞く時間を直接計算するという考えでも、解くことができます。 斜め方向のドップラー効果は、音源の速さの観測者に向かう成分を考えます。 このときに、（4-19）式が有効であるかどうかを確認します。 図4-8を見て考えます。 以下に示します。 音源が、左から右に移動していく過程で、観測者が受ける音波の振動数の範囲を、（4-26）式を元に考えます。 （4-26）式を変形します。
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